A回答
※こちらはAndroidをご利用の方へのご案内です。iPhoneをご利用の方は、こちらをご参照ください。
原因と改善方法を下記ケースごとにご案内いたします（netkeibaでは、通常、ログイン状態が維持されます）。
＜ケース1＞セキュリティ機能の設定が原因
閲覧履歴やログイン情報を残したくないご利用者向けに提供されている、「シークレットモード」や「プライベートブラウズ」といった機能がオンになっている可能性がございます。
設定を解除（オフに）していただくよう、お願いいたします。
【Google chrome】ブラウザをご利用の方はこちらをご参照のうえ、シークレットモード機能をオフにしてください。
＜ケース2＞機種変更、ご利用ブラウザの変更、あるいは、ブラウザ版⇄アプリ版の変更が原因
この場合、新たなログインが必要ですが、再度ご利用の際にはログイン不要となるはずです。
＜ケース3＞ブラウザの設定が原因
ご利用のスマートフォンに応じ、下記お手続きをお願いいたします。
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1） 標準ブラウザ（「地球マーク」）を起動する
2）ENUボタン（通常、端末の左下）を押す
3） 「その他」を押し、下記「Ａ」へ
※「その他」がない場合は下記「Ｂ」へ
「Ａ」「設定」を押し、次の画面で「Cookieを受け入れる」にチェックを入れる
「Ｂ」「設定」を押し、「プライバシーとセキュリティ」を押した後、「Cookieを許可」にチェックを入れる
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※上記「Cookieを受け入れる」設定であるのに、改善されない場合...バッテリー消費をおさえる等、省エネ系のアプリをご利用ではございませんか？（自動的にCookieが削除される仕様になっている可能性あり）同アプリの利用を停止してご確認くださいますよう、お願いいたします。